Сумма чисел от 1 до N

Калькулятор суммы чисел находит сумму всех целых чисел от 1 до N или от M до N по формуле Гаусса и показывает решение по шагам. Подходят и отрицательные числа.

Формула суммы чисел от 1 до N

1 + 2 + 3 + … + N = ^{N · (N + 1)}/₂

Пример. 1 + 2 + … + 100 = ^{100 · 101}/₂ = 5050

Как Гаусс придумал формулу

По известной истории, маленький Карл Фридрих Гаусс получил от учителя задание сложить все числа от 1 до 100 и почти сразу назвал ответ. Он заметил, что числа удобно складывать парами — первое с последним, второе с предпоследним:

1 + 100 = 101,   2 + 99 = 101,   3 + 98 = 101,   …

Таких пар 50, каждая даёт 101, значит сумма равна 50 · 101 = 5050.

Сумма чисел от M до N

Числа, идущие подряд, образуют арифметическую прогрессию с шагом 1, поэтому их сумма равна полусумме первого и последнего числа, умноженной на количество слагаемых:

S = ^{(M + N) · n}/₂,   где n = N − M + 1

Пример. Найдём сумму чисел от 5 до 10.
n = 10 − 5 + 1 = 6
S = ^{(5 + 10) · 6}/₂ = 45
Проверка: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45

Полезные следствия

• Сумма первых n нечётных чисел равна n²: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².
• Сумма чисел от −N до N равна нулю: отрицательные и положительные слагаемые взаимно уничтожаются.
• Сумма, делённая на количество слагаемых, — это среднее арифметическое, оно равно полусумме первого и последнего числа.