Кубические уравнения

Калькулятор кубических уравнений решает уравнение ax³ + bx² + cx + d = 0. Если у уравнения есть рациональный корень, калькулятор находит его по теореме о рациональных корнях, делит многочлен по схеме Горнера и решает оставшееся квадратное уравнение — точно. Иначе применяет формулу Кардано или тригонометрический способ и даёт приближённые корни.

Способ 1. Подбор рационального корня

Если коэффициенты целые, то рациональный корень ^p/_q (несократимая дробь) может быть только таким, что p делит свободный член d, а q делит старший коэффициент a. Перебираем эти числа, находим корень x₀ и делим многочлен на (x − x₀) — остаётся квадратное уравнение.

Пример. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Подставляем x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 — корень.
Схема Горнера: x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2, x = 3. Ответ: x = 1; 2; 3

Схема Горнера

Деление многочлена на (x − x₀) удобно записывать таблицей: первый коэффициент сносим вниз, затем каждое следующее число = коэффициент + x₀ · предыдущее число внизу. Последнее число — остаток; если x₀ — корень, он равен нулю.

Способ 2. Формула Кардано

Заменой x = t − ^b/_3a уравнение приводится к виду t³ + pt + q = 0. Число корней зависит от знака

Δ = (^q/₂)² + (^p/₃)³

• Δ > 0 — один действительный корень t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ) и два комплексных;
• Δ = 0 — все корни действительные, есть совпадающие;
• Δ < 0 — три различных действительных корня, их находят тригонометрическим способом.

У кубического уравнения с действительными коэффициентами всегда есть хотя бы один действительный корень.