$Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения$

Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения

Калькулятор решает уравнения aˣ = b, logₐx = b, sin x = a, cos x = a и tg x = a с точными ответами для табличных значений.

Вид уравнения:

Показательное aˣ = b

Логарифмическое logₐx = b

sin x = a

cos x = a

tg x = a

^x =

Можно вводить дроби и корни: 1/2, √3/2, sqrt(2)/2

Калькулятор простейших уравнений решает показательные уравнения aˣ = b, логарифмические logₐx = b и тригонометрические sin x = a, cos x = a, tg x = a. Для табличных значений (½, √2/2, √3/2, √3 …) ответ даётся точно через π, для остальных — через arcsin, arccos, arctg с приближённым значением.

Показательное уравнение aˣ = b

При b ≤ 0 решений нет: aˣ > 0 при любом x.
Если a и b — степени одного числа, приравниваем показатели: 8ˣ = 4 ⇒ 2^3x = 2² ⇒ x = ²/₃.
Иначе x = log_a b: 3ˣ = 10 ⇒ x = log₃ 10 ≈ 2.0959.

Логарифмическое уравнение logₐx = b

По определению логарифма x = aᵇ: log₃ x = 2 ⇒ x = 3² = 9. Основание a должно быть положительным и не равным 1, а x — положительным.

Тригонометрические уравнения

Уравнение	Решение	Условие
sin x = a	x = (−1)ⁿ arcsin a + πn	\|a\| ≤ 1
cos x = a	x = ±arccos a + 2πn	\|a\| ≤ 1
tg x = a	x = arctg a + πn	любое a

Здесь n — любое целое число (n ∈ ℤ). Частные случаи записывают короче: sin x = 0 ⇒ x = πn; sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn; cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; cos x = 1 ⇒ x = 2πn.

Табличные значения

a	arcsin a	arccos a
1/2	π/6	π/3
√2/2	π/4	π/4
√3/2	π/3	π/6
−1/2	−π/6	2π/3

arctg 1 = π/4, arctg √3 = π/3, arctg (√3/3) = π/6. Для отрицательных a: arcsin(−a) = −arcsin a, arctg(−a) = −arctg a, arccos(−a) = π − arccos a.