Системы линейных уравнений

Калькулятор систем линейных уравнений решает системы из двух и трёх уравнений методом Крамера, методом Гаусса или матричным методом. Все вычисления ведутся в точных дробях, решение расписано по шагам и проверено подстановкой. Калькулятор определяет и случаи, когда решений нет или их бесконечно много.

Метод Крамера

Находим главный определитель Δ из коэффициентов при неизвестных. Если Δ ≠ 0, заменяем по очереди столбец коэффициентов при x, y, z столбцом свободных членов и получаем определители Δ_x, Δ_y, Δ_z:

x = ^Δ_x/_Δ,   y = ^Δ_y/_Δ,   z = ^Δ_z/_Δ

Пример. 3x + 2y = 7,   x − y = −1
Δ = 3 · (−1) − 2 · 1 = −5;   Δ_x = 7 · (−1) − 2 · (−1) = −5;   Δ_y = 3 · (−1) − 7 · 1 = −10
x = −5 / (−5) = 1,   y = −10 / (−5) = 2

Метод Гаусса

Записываем расширенную матрицу системы и приводим её к ступенчатому виду: вычитаем из нижних строк верхние, умноженные на подходящие числа, пока под главной диагональю не останутся нули. Затем обратным ходом находим неизвестные снизу вверх. Метод Гаусса работает всегда — и когда решение единственное, и когда его нет или их бесконечно много.

Матричный метод

Систему записывают как A · X = B, где A — матрица коэффициентов, X — столбец неизвестных, B — столбец свободных членов. Если det A ≠ 0, решение X = A⁻¹ · B. Обратную матрицу находят через алгебраические дополнения: A⁻¹ = ¹/_{det A} · (A*)^T.

Сколько решений у системы

• Δ ≠ 0 — решение единственное.
• Δ = 0 — решений нет (система несовместна) или их бесконечно много. Какой случай, показывает метод Гаусса: появляется строка «0 = число» — решений нет; строка «0 = 0» — бесконечно много.