$Системы линейных уравнений$

Системы линейных уравнений

Пошаговое решение системы 2x + y − z = 8; −3x − y + 2z = −11; −2x + y + 2z = −3: x = 2, y = 3, z = -1

Число уравнений:

2 3

Метод решения:

Крамера Гаусса Матричный

Коэффициенты (пустое поле — ноль):

x + y + z =

Ответ:

x = 2; y = 3; z = −1

Решение:

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3

1. Найдём главный определитель системы — из коэффициентов при неизвестных:

Δ =

2	1	−1
−3	−1	2
−2	1	2

= 2·(−1)·2 + 1·2·(−2) + (−1)·(−3)·1 − (−1)·(−1)·(−2) − 2·2·1 − 1·(−3)·2 = −1

2. Определитель не равен нулю, значит решение единственное. Заменяя по очереди столбцы коэффициентов столбцом свободных членов, найдём вспомогательные определители и неизвестные по формулам Крамера:

Δ_x =

8	1	−1
−11	−1	2
−3	1	2

= −2, x = Δ_x / Δ = (−2) / (−1) = 2

Δ_y =

2	8	−1
−3	−11	2
−2	−3	2

= −3, y = Δ_y / Δ = (−3) / (−1) = 3

Δ_z =

2	1	8
−3	−1	−11
−2	1	−3

= 1, z = Δ_z / Δ = 1 / (−1) = −1

3. Проверка — подставим решение в уравнения:

2 · 2 + 1 · 3 + (−1) · (−1) = 8
(−3) · 2 + (−1) · 3 + 2 · (−1) = −11
(−2) · 2 + 1 · 3 + 2 · (−1) = −3

Калькулятор систем линейных уравнений решает системы из двух и трёх уравнений методом Крамера, методом Гаусса или матричным методом. Все вычисления ведутся в точных дробях, решение расписано по шагам и проверено подстановкой. Калькулятор определяет и случаи, когда решений нет или их бесконечно много.

Метод Крамера

Находим главный определитель Δ из коэффициентов при неизвестных. Если Δ ≠ 0, заменяем по очереди столбец коэффициентов при x, y, z столбцом свободных членов и получаем определители Δ_x, Δ_y, Δ_z:

x = ^Δ_x/_Δ, y = ^Δ_y/_Δ, z = ^Δ_z/_Δ

Пример. 3x + 2y = 7, x − y = −1
Δ = 3 · (−1) − 2 · 1 = −5; Δ_x = 7 · (−1) − 2 · (−1) = −5; Δ_y = 3 · (−1) − 7 · 1 = −10
x = −5 / (−5) = 1, y = −10 / (−5) = 2

Метод Гаусса

Записываем расширенную матрицу системы и приводим её к ступенчатому виду: вычитаем из нижних строк верхние, умноженные на подходящие числа, пока под главной диагональю не останутся нули. Затем обратным ходом находим неизвестные снизу вверх. Метод Гаусса работает всегда — и когда решение единственное, и когда его нет или их бесконечно много.

Матричный метод

Систему записывают как A · X = B, где A — матрица коэффициентов, X — столбец неизвестных, B — столбец свободных членов. Если det A ≠ 0, решение X = A⁻¹ · B. Обратную матрицу находят через алгебраические дополнения: A⁻¹ = ¹/_{det A} · (A*)^T.

Сколько решений у системы

Δ ≠ 0 — решение единственное.
Δ = 0 — решений нет (система несовместна) или их бесконечно много. Какой случай, показывает метод Гаусса: появляется строка «0 = число» — решений нет; строка «0 = 0» — бесконечно много.