Квадратные уравнения
Пошаговое решение через дискриминант: Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0: x1 = 2, x2 = 3
x2 − 5x + 6 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 6.
1. Найдём дискриминант:
D = b2 − 4ac = (-5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
2. D > 0, значит уравнение имеет два различных действительных корня:
Корень из дискриминанта: √1 = 1
x1 = 2
x2 = 3
3. Проверка по теореме Виета:
x1 + x2 = 5 = −b/a = 5
x1 · x2 = 6 = c/a = 6
Разложение на множители: (x − 2)(x − 3) = 0
Калькулятор квадратных уравнений решает уравнение ax² + bx + c = 0 через дискриминант с подробным решением: находит точные корни (с упрощением корня, например −1 ± √3), комплексные корни при D < 0, делает проверку по теореме Виета и раскладывает трёхчлен на множители.
Формула дискриминанта и корней
D = b2 − 4ac, x1,2 = −b ± √D/2a
| Дискриминант | Корни |
|---|---|
| D > 0 | два различных действительных корня |
| D = 0 | один корень x = −b / (2a) |
| D < 0 | действительных корней нет (есть два комплексных) |
Пример. x2 − 5x + 6 = 0
D = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
x1 = 5 − 1/2 = 2, x2 = 5 + 1/2 = 3
Теорема Виета
Для корней приведённого уравнения x2 + px + q = 0:
x1 + x2 = −p, x1 · x2 = q
Ей удобно проверять ответ и подбирать целые корни устно: для x2 − 5x + 6 = 0 нужны два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
Неполные квадратные уравнения
- c = 0: ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x = 0 или x = −b/a.
- b = 0: ax2 + c = 0 ⇒ x2 = −c/a; корни есть, только если −c/a ≥ 0.
Дробные коэффициенты
Если коэффициенты дробные или десятичные, калькулятор сначала умножает уравнение на общий знаменатель, чтобы работать с целыми числами, — корни от этого не меняются: 0.5x2 − 1.5x + 1 = 0 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0.