Биквадратные уравнения
Пошаговое решение заменой t = x²: Решить биквадратное уравнение 4x⁴ − 2x² + 6 = 0: Действительных корней нет
4x4 − 2x2 + 6 = 0
1. Сделаем замену t = x² (t ≥ 0) и приведём коэффициенты к целым — получим квадратное уравнение:
2t2 − t + 3 = 0
2. Решим его через дискриминант:
D = (-1)2 − 4 · 2 · 3 = -23
D < 0 — у уравнения относительно t нет действительных корней, значит и исходное уравнение не имеет действительных корней.
Калькулятор биквадратных уравнений решает уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 заменой t = x² и показывает все шаги: квадратное уравнение относительно t, отбор неотрицательных корней и обратную замену.
Что такое биквадратное уравнение
Биквадратное уравнение — уравнение четвёртой степени, в котором есть только чётные степени x:
ax4 + bx2 + c = 0, a ≠ 0
Как решать
- Сделайте замену t = x2, причём t ≥ 0. Получится квадратное уравнение at2 + bt + c = 0.
- Решите его через дискриминант.
- Отбросьте отрицательные t — квадрат числа не бывает отрицательным.
- Для каждого t > 0 найдите x = ±√t, для t = 0 — x = 0.
Пример. x4 − 5x2 + 4 = 0
t = x2: t2 − 5t + 4 = 0, t1 = 1, t2 = 4
x2 = 1 ⇒ x = ±1; x2 = 4 ⇒ x = ±2
Ответ: x = −2; −1; 1; 2
Сколько может быть корней
| Корни уравнения для t | Корни x |
|---|---|
| два положительных | четыре |
| один положительный, другой отрицательный | два |
| один из корней равен нулю | x = 0 и ещё два или ни одного |
| оба отрицательные или D < 0 | нет действительных корней |